stochastic process

A stochastic process, or sometimes random process, is the opposite of a deterministic process (or deterministic system) in probability theory. Instead of dealing only with one possible 'reality' of how the process might evolve under time (as is the case, for example, for solutions of an ordinary differential equation), in a random process there is some indeterminacy in its future evolution described by probability distributions. This means that even if the initial condition (or starting point) is known, there are many possibilities the process might go to, but some paths are more probable and others less.
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Le calcul des probabilités classique concerne des épreuves où chaque résultat possible (ou réalisation) est un nombre, ce qui conduit à la notion de variable aléatoire. Un processus stochastique ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, généralement dans le temps, d'une variable aléatoire.
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Ein Stochastischer Prozess ist die mathematische Beschreibung von zeitlich geordneten, zufälligen Vorgängen. Die Theorie der stochastischen Prozesse stellt eine wesentliche Erweiterung der Wahrscheinlichkeitstheorie dar und bildet die Grundlage für die stochastische Analysis. Obwohl einfache stochastische Prozesse schon vor langer Zeit studiert wurden, wurde die heute gültige formale Theorie erst anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt, vor allem durch Paul Lévy und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow.
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Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy, pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
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In teoria della probabilità un processo stocastico è una generalizzazione dell'idea di variabile casuale, e può euristicamente essere interpretato come una variabile casuale che prenda valori in spazi più generali dei numeri reali (come ad esempio, , o spazi funzionali, o successioni di numeri reali). Pertanto, è in genere possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali. Supponiamo ad esempio di voler modellizzare matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una legge probabilistica. Possiamo introdurre un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali , dove per ogni valore della variabile tempo , è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo .
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