The system of hyperreal numbers represents a rigorous method of treating the infinite and infinitesimal quantities. The hyperreals, or nonstandard reals, *R, are an extension of the real numbers R that contains numbers greater than anything of the form

Les nombres hyperréels furent introduits par Abraham Robinson dans les années 1960 dans le cadre de l'Analyse non-standard. Il se base sur l'axiomatique Zermelo-Fraenkel. Il ajoute 3 axiomes nouveaux :

1. l'Idéalité
2. le Standard
3. le Transfert

Ces 3 axiomes sont plus connus sous le nom IST. Robinson rejoint les préoccupations d'Euler pour les nombres infinis.

Det hyperreella talsystemet är inom matematiken ett talsystem som utvidgar det reella talsystemet genom att även innehålla så kallade infinitesimaler. En positiv infinitesimal är ett tal som är mindre än alla positiva reella tal samtidigt som det är större än noll. Om betecknar en positiv infinitesimal så gäller med andra ord att där är vilket positivt reellt tal som helst. Det hyperreella talsystemet innehåller även inverser av positiva infinitesimaler - tal som är större än alla reella tal. Genom att byta tecken på positiva infinitesimaler får man negativa infinitesimaler och genom att invertera sådana får man tal som är mindre än alla reella tal. Den grundläggande idén om infinitesimaler återfinns långt tillbaka i historien. Redan för över 2000 år sedan använde sig Arkimedes av sådana när han skulle beräkna ett bra närmevärde på pi (). Infinitesimaler hade en stor betydelse i Leibniz uppbyggnad av det som senare ledde till analysen. Men det var först på 1960-talet som infinitesimaler fick en stringent matematisk grund av Abraham Robinson. I och med detta skapades en ny gren av matematiken: icke-standardanalysen. Där räknar man med hyperreella tal, vilket möjliggör en bevisföring i linje med de heuristiska argument som användes av Newton och Leibniz.

Un numero iperreale è un elemento cardine nell'analisi non standard, introdotta dalle ricerche di Abraham Robinson dell'università di Yale nel 1966 sul suo libro Non-Standard Analysis.