function space

In mathematics, a function space is a set of functions of a given kind from a set X to a set Y. It is called a space because in many applications, it is a topological space or a vector space or both.
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En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble vers un ensemble. Il est appelé espace parce que suivant les cas il peut être un espace topologique ou un espace vectoriel ou les deux. Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques:En  théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble  peut être identifié avec l'ensemble des fonction de à valeurs dans ; noté . Plus généralement, l'ensemble des applications est noté ;en algèbre linéaire l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel  vers un autre sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel;En analyse fonctionnelle, on peut aussi rencontrer des espaces fonctionnels avec les applications linéaires continues, munis de topologies, et les exemples principaux sont les espaces de fonctions numériques muni d'une topologie; les exemples les plus connus sont les  espaces hilbertiens et les  espaces de Banach.en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque est appelé espace séquentiel. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de ;en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique  dans un autre , dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est celle de compact-ouvert. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) . Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple;En topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions;dans la théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps);dans la théorie des catégories un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel. Il apparaît d'une certaine façon comme la représentation du bifoncteur canonique; mais en tant que foncteur (simple), du type [X, -], il apparaît comme foncteur adjoint à un foncteur de type (-×X) sur des objets ; en lambda-calcul et en programmation fonctionnelle, des types d'espaces de fonctions sont employés pour exprimer l'idée de fonction d'ordre supérieur;dans la théorie des domaines, l'idée fondamentale est de trouver des constructions à partir d'ordres partiels qui peuvent modéliser le lambda-calcul, en créant une catégorie cartésienne fermée.
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Ein Funktionenraum ist eine Menge von Funktionen, die alle denselben Definitionsbereich besitzen. Wenn diese Menge auch noch ein Vektorraum ist, dann spricht man von einem linearen Funktionenraum., Viele wichtige Funktionenräume sind unendlichdimensional und werden in der Funktionalanalysis betrachtet.
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Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji określonych na pewnej przestrzeni topologicznej, wyposażony w dodatkowe, zgodne ze sobą struktury, np. przestrzeni wektorowej i przestrzeni metrycznej.Przykład: przestrzenią funkcyjną jest zbiór wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym.Określając bowiem działania na funkcjach w "naturalny" sposób jako:
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En matemáticas, un espacio funcional es un conjunto de  funciones de un conjunto X a un conjunto Y, de una clase dada. Se llama un espacio porque en la mayoría de las aplicaciones, es un espacio topológico o un espacio vectorial. Los espacios funcionales aparecen en varias áreas de las matemáticas: en la teoría de conjuntos, el conjunto de partes de un conjunto X se puede identificar con el conjunto de todas las funciones de X en {0, 1} (funciones características); en el álgebra lineal el conjunto de toda las transformaciones lineales del espacio vectorial de V en otro, W, sobre el mismo cuerpo, es en sí mismo un espacio vectorial; en el análisis funcional se ve lo mismo para las transformaciones lineales continuas, incluyendo topologías en los espacios vectoriales subyacentes, y muchos de los ejemplos principales son espacios funcionales con topología; en la topología, uno puede procurar poner una topología en las funciones continuas del espacio topológico X a otro Y, cuya utilidad depende de la naturaleza de los espacios; en la topología algebraica, el estudio de la teoría de la homotopía es esencialmente el de invariantes discretos de espaciosfuncionales; en la teoría del proceso estocástico, el problema técnico básico es cómo construir una medida de probabilidad en un espacio funcional de trayectorias del proceso (funciones del tiempo); en la teoría de categorías el espacio funcional aparece como bifuntor canónico de representación pero como funtor simple de tipo [X, -] como funtor adjunto, a un funtor del tipo (Xx -) en objetos; en el cálculo lambda y la programación funcional, tipos de espacio funcional se utilizan para expresar la idea de función de orden superior. en la teoría de dominios, la idea básica es encontrar construcciones de un orden parcial que pueda modelar cálculo lambda, creando una buena categoría cartesiano cerrada.
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