first-order logic

First-order logic (FOL) is a formal deductive system used by mathematicians, philosophers, linguists, and computer scientists. It goes by many names, including: first-order predicate calculus (FOPC), the lower predicate calculus, the language of first-order logic or predicate logic. Unlike natural languages such as English, FOL uses a wholly unambiguous formal language interpreted by mathematical structures. FOL is a system of deduction extending propositional logic by allowing quantification over individuals of a given domain (universe) of discourse. For example, it can be stated in FOL "Every individual has the property P".
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Prädikatenlogik oder Quantorenlogik ist eine Familie logischer Systeme, die es erlauben, einen weiten und in der Praxis vieler Wissenschaften und deren Anwendungen wichtigen Bereich von Argumenten zu formalisieren und auf ihre Gültigkeit zu überprüfen. Auf Grund dieser Eigenschaft spielt die Prädikatenlogik eine große Rolle in der formalen und nicht formalen Logik sowie in Mathematik, Informatik, Linguistik und Philosophie.
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Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym kwantyfikatory mogą mówić tylko o obiektach, nie zaś o ich zbiorach. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ...", "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).
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Nella logica matematica una teoria del primo ordine è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico.
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一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic）あるいは述語論理 (predicate logic) は、数理論理学の形式体系のひとつであり、命題論理を拡張したものである。述語 (predicate) が変項化されないものを一階述語論理と呼び、述語を変項化したものを二階述語論理（さらに一般化して高階述語論理）と呼ぶ。本項では主に一階述語論理までについて解説する。一階述語論理の原子論理式は P(t1, ..., tn) という形式であり、これは一つ以上の主語 (subject) を持つ述語とみなすことができる。一方、命題論理では原子論理式は単に命題としてひとつの記号で表されていた。以下に書かれるように、P(t1, ..., tn) の括弧やカンマは省いて表記されることが多い。命題論理にない一階述語論理の特徴は量化 (quantification) である。φ を任意の論理式としたとき、∀xφ と  ∃xφ が新たに導入される。前者は「すべての x について φ である」という意味であり、後者は「ある x が存在し、φ である」という意味である。意図を明確にするために φ を φ(x) と書き、φ(x) 中の x の自由な出現すべてを a で置換した結果を φ(a) で示すものとする。すると ∀xφ(x) は φ(a) が任意の a について真であることを意味し、∃xφ(x) は φ(a) が真となるような a が少なくともひとつ存在することを意味する。変項の値は既知の対象領域から選ばれる。一階述語論理を改良することによって、対象領域を種 (sort) ごとに分割し、それぞれの領域上を動く種別の変項を導入することもできる（詳しくは多種論理を参照せよ）。
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