continuum hypothesis

In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis, advanced by Georg Cantor, about the possible sizes of infinite sets. Cantor introduced the concept of cardinality to compare the sizes of infinite sets, and he gave two proofs that cardinality of the set of integers is strictly smaller than that of the set of real numbers. His proofs, however, give no indication of the extent to which the cardinality of the natural numbers is less than that of the real numbers. Cantor proposed the continuum hypothesis as a possible solution to this question. It states:There is no set whose size is strictly between that of the integers and that of the real numbers. In light of Cantor's theorem that the sizes of these sets cannot be equal, this hypothesis states that the set of real numbers has minimal possible cardinality. The name of the hypothesis comes from the term the continuum for the real numbers.
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En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu, due à Georg Cantor, affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels. Reformulé sous une autre forme : tout ensemble strictement plus grand, au sens de la cardinalité, que l'ensemble des entiers naturels doit contenir une « copie » de l'ensemble des nombres réels. Cantor avait démontré (et publié en 1874) que le cardinal de l'ensemble des nombres réels était strictement plus grand que celui des nombres entiers, il formula plus tard cette hypothèse, qui résultait d'une analyse des sous-ensembles de la droite réelle, et de sa hiérarchisation des cardinaux infinis, mais il tenta en vain de la démontrer. Cette démonstration constituait le premier de la célèbre liste des 23 problèmes de Hilbert, que celui-ci avait établie pour le congrès international de mathématiques de 1900 à Paris, dans le but de guider la recherche en mathématiques du siècle alors naissant.
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Die Kontinuumshypothese wurde 1878 vom Mathematiker Georg Cantor aufgestellt. Sie besagt:Es gibt keine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit kleiner ist als die der reellen Zahlen.Anders ausgedrückt:Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt.Bezeichnet man, wie üblich, die Kardinalzahl (Mächtigkeit) der natürlichen Zahlen mit , die darauf folgende Kardinalzahl mit und die Kardinalzahl der reellen Zahlen mit , so heißt die Kontinuumshypothese formal:
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Hipoteza continuum to hipoteza postawiona przez Georga Cantora dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.Cantor - posługując się rozumowaniem przekątniowym - wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. Pojawiło się w takim razie pytanie: czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych i mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych? Okazało się, że odpowiedź na tak naturalne pytanie nie jest oczywista. Cantor wysunął hipotezę - zwaną właśnie hipotezą continuum - że takiego zbioru nie ma. Fakt, że nie potrafił tej hipotezy udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.
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In matematica, l'ipotesi del continuo è un'ipotesi avanzata da Georg Cantor che riguarda le dimensioni possibili per gli insiemi infiniti. Cantor introdusse il concetto di cardinalità e di numero cardinale (che possiamo immaginare come una "dimensione" dell'insieme) per confrontare tra loro insiemi transfiniti, e dimostrò l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri naturali e i numeri reali. L'ipotesi del continuo afferma che: Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri naturali e quella dei numeri reali.
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