V.
Le problème de la racine d'un carré s'est soulevé lors de la résolution de l'équation x2 = a. Pour certains nombres tels que 4 ou 9, les solutions sont connues. Ce sont 2 et -2 dans le premier cas, 3 et -3 dans le second. On démontre simplement que cette équation a toujours deux solutions opposées dans le cas où a est positif. Par convention, on appelle racine de a la solution positive. Ainsi, en
mathématiques, la racine carrée d’un
nombre réel x est le nombre positif dont le
carré vaut x. Par exemple, on dit que le nombre 4 est une racine carrée de 16 puisque 42 = 16. La racine d'un nombre est notée vx. Par exemple, "la racine carrée de 9 est 3" se note v9 = 3. Le signe v est appelée radical. Son origine serait une déformation de la lettre « r », initiale du mot
latin radix qui signifie racine. Il a été introduit en
1525 par le mathématicien
Christoff Rudolff. Tout
nombre réel x positif possède une racine carrée qui est elle-même un nombre réel positif. Dans le cas où le nombre dont on cherche la racine n'est pas un
carré parfait, celle-ci est toujours un
nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut être exprimé par une fraction. Par exemple, v2 ne peut être écrit sous la forme m/n où m et n sont des nombres entiers. A noter que, dans ce cas, il n'existe pas d'autre façon d'écrire le nombre. La racine carrée d'un nombre positif ou nul est le nombre positif ou nul qui, élevé au carré, redonne le nombre initial. Racine carrée et autres structures Si un ensemble E possède une multiplication, il peut être intéressant de se poser la question de savoir quand, pour un élément a de E, il existe un élément b tel que b2 est égal à a. Si E est égal à Z, a vérifie la propriété précédente si, et seulement si a est un
carré parfait. Le terme de racine carrée sera étendu pour une raison de simplicité. La phrase 3 n'a pas de racine carrée dans Zpossède un sens complètement défini. Supposons que l'ensemble E soit égal à celui des
nombres complexes, c'est à dire des nombres de la forme a + i.b où a et b sont des nombres réels et i l'
unité imaginaire. L'unité imaginaire est un nombre dont le carré est égal à -1. Si a est un nombre complexe, alors il existe toujours un nombre complexe ß tel que ß2 soit égal à a. De plus, -ß vérifie la même propriété. Il est fréquent de dire que ß et -ß sont les racines carrées de a, ce qui est tout de même plus commode que de dire que ß et -ß sont les
racines de l'équation X2 - a = 0. On parle alors des racines carrées de a. Par extension, et quand il n'existe pas d'ambiguité, la locution racine carrée de a où a est un élément d'un ensemble E munis d'une multiplication signifie n'importe quel élément x solution de l'équation x2 = a. La notation va est néanmoins souvent déconseillée, elle est associée à un élément précis et non pas un ensemble. Dans le cas des nombres réels, c'est l'article qui permet de faire la différence. Un auteur parlant d'une racine carrée de 2, traite d'un des deux éléments v2 ou bien -v2. En revanche l'expression la racine de deux évoque toujours la solution positive. Comme l'expression v2 est toujours positive et le terme fonction racine définie sur les réels positifs désigne toujours la valeur positive, on évite cette confusion dans les enseignements un peu élémentaires des mathématiques en ne faisant usage que de l'expression : la racine carrée, alors toujours positive. Fonction réelle L’application est une
bijection dont l’inverse est noté . Cette fonction s’appelle la fonction racine carrée. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un
carré du plan euclidien est la longueur de ses côtés. Mise en garde : l’aire s’exprime dans le système universel en mètre carré et les longueurs en mètre. En prenant la racine carrée d’une quantité exprimée en mètres carrés, on obtient une quantité exprimée en mètres. Les physiciens attachent une importance particulière à l’analyse des unités ; cet aspect est effacé en mathématiques. Les nombres réels sont des constantes sans unité, et la racine carrée d’un nombre réel positif est un nombre réel positif. Analyse La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs x et y : (sous la condition ) où |x| désigne la
valeur absolue de x. La fonction racine est
continue en tout réel positif x (pour y proche de x, est proche de ). De plus, elle est
dérivable en tout réel strictement positif x, mais elle n’est pas dérivable en x=0. En ce point, la
pente de la
tangente est infinie ; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale. La fonction dérivée de est donnée par : La fonction racine est en réalité de
classe sur . Mieux encore, la fonction racine est développable en
séries entières. Le développement en
série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s’obtient immédiatement à partir de la
formule du binôme généralisée : pour tout réel |h| < 1. Construction géométrique de la racine carrée La construction géométrique suivante se réalise à la
règle et au
compas et permet, étant donné un
segment 0B de longueur a, de construire un segment de longueur :Construire le
segment AB de longueur 1+a et contenant le point O avec AO = 1Construire le cercle C de
diamètre AB.Construire la droite D perpendiculaire à (OB) et passant par O.Nommer H le point d’intersection du cercle C et de la droite D. Le segment OH est de longueur . La preuve consiste à appliquer le
théorème de Pythagore :Au triangle rectangle HOB : OH2 + a2 = HB2Au triangle rectangle ABH : HB2 = (a+1)2 - AH2Au triangle rectangle AOH : AH2 = 12 + OH2 D’où OH2 + a2 = (a+1)2 - (12 + OH2), soit, après simplification OH2 = a, et donc . Cette construction a son importance dans l’étude des
nombres constructibles. Notion algébrique générale Soient x et a deux éléments d’un
anneau A, tels que x2=a. L'élément x est alors une racine carrée de a. En général (notamment si l'anneau n'est pas
intègre, ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées. Les racines carrées de nombres complexes La racine carrée sur est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donnent des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des
nombres complexes a été introduit. Pour tout nombre complexe non nul z, il existe exactement deux nombres complexes w tels que w2 = z. Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée en une fonction continue vérifiant . On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de toute fonction continue vérifiant . La détermination principale de la racine carrée est la fonction ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique avec , alors on pose . Cette détermination principale n’est continue en aucun point de la demi-droite des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire. Quand le nombre est dans sa forme algébrique, on a : où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial (si elle est nulle, on prend par convention le signe +). Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation devient fausse en général. Les racines carrées de matrices et d’opérateurs Si A est une
matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint
défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif B tel que B2 = A. On pose alors : vA = B. Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B2 = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un
espace de Hilbert. En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des
opérateurs développent davantage ces aspects. Extraction de racines carrées Un premier algorithme Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d’extraire la racine carrée d’un nombre. Évidemment, si la racine carrée n’est pas un
nombre décimal, alors l’algorithme ne se termine jamais, mais on s'approche autant qu'on peut le souhaiter du résultat : la suite des chiffres est exacte. Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine en haut, de la même façon que lorsque nous effectuons une division selon la méthode classique ; la racine carrée sera inscrite au-dessus de ce nombre. À chaque étape :on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d’un reste éventuel de l'étape précédente ; soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand
chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée ; on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste ;si le reste est nul et qu’il n’y a plus de chiffre à abaisser alors l’algorithme se termine sinon on recommence. Vérification : 12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34. = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02) = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004 = 152,2756 Jusqu’au on utilisait couramment cet algorithme en accélérant les calculs à l’aide d’un abaque formée d’un jeu de réglettes : les
bâtons de Napier. Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n’importe quelle base,
base 2 comprise. Dans ce qui précède, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100. Par les fractions continues Une
fraction continue permet d'exprimer un nombre réel. Dans le cas particulier des racines carrés, son expression est relativement simple, ce qui permet de formuler deux méthodes d'extraction de racine. Elles possèdent toutes deux l'avantage de présenter des fractions optimales, c'est à dire que si p / q est une des valeurs que propose l'algorithme, alors aucune fraction de a / b avec b < q approche plus précisément la racine. La deuxième méthode converge très rapidement, à chaque étape, le nombre de décimales exactes double. La méthode de Héron La
méthode de Héron est un algorithme permettant d’approcher les racines carrées. Son importance est avant tout historique, elle a été développée par les
Babyloniens. Elle fournit de bonnes approximations au prix de quelques divisions. On peut avoir une approche plus algorithmique en simplifiant cette méthode par la formule de Newton Calcul par la méthode du goutte à goutte Les racines carrées, approximations entières Les
concepteurs de présentations de jeux vidéos ont parfois besoin de construire des tables des parties entières des racines carrées des entiers naturels. Les premières sont données par : Une observation des premiers termes montrent que la suite stationne d’entiers en entiers, et saute successivement d’un incrément de manière régulière. Plus précisément, le 0 est répété 1 fois,le 1, 3 foisle 2, 5 foisle 3, 7 foisle 4, 9 fois Le nombre de fois que l’entier n est répété est le n-ième entier impair. La preuve repose sur l’identité suivante : Approximation de à l'aide de suites adjacentes Soit un nombre réel strictement positif Considérons les suites définies par , , moyenne harmonique de et , moyenne arithmétique de et . Les suites et sont adjacentes, et convergent vers la même limite : . L'erreur peut même être majorée par la différence . Remarquons l'originalité de cette méthode qui mêle moyennes harmonique, géométrique et arithmétique. Curiosités L’identité implique , et par itérations successives : Pour des raisons analogues, on obtient : ; ; ... Si r est un entier strictement supérieur à 1, Plus généralement, si p étant un
nombre réel supérieur ou égal à 1, Si p est égal à 1, on obtient le
nombre d'or: . Le mathématicien
Ramanujan obtint une formule alternative pour 3. Il partit de la décomposition et construisit le produit en fixant Il substitua le terme Ramanujan réitéra à l’infini en remplaçant maintenant par 1 et obtint la jolie formule : (bien entendu, il doit ensuite démontrer que le passage à la limite est légal) En fixant et à d’autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, on peut également construire d’autres belles formules comme : En résumé, la relation suivante, itérée à l’infini : permet donc d’exprimer tous les nombres
entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées. En particulier, en fixant n = 0 (toutes ces formules sont en fait des affirmations sur des limites, qui se démontrent, de manière assez délicate, par encadrements) Le nombre
p s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées : , où k est le nombre de racines carrées emboitées Ou encore : Racines carrées des entiers de un à vingt Voir aussi
Racine carrée de deuxRacine carrée de troisRacine cubiqueRacine de nombre complexeNombre d’orNombre irrationnelNombre algébriqueNombre réelNombre complexeExponentielleSources et référencesSmith D.E., History of Mathematics (livre 2)Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, seconde édition.
Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8. <references /> Liens externes
Pythagore et le problème de l’expression de la racine de 2 (présentation multimédia sur le site du Canal Educatif à la Demande)]
Pour la suite, voir Wikipédia.org…
V.
V. (roman)
V.
V.
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