Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da
matemática pura que se preocupa com as propriedades dos
números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber:Teoria elementar dos números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do
conjunto dos
números inteiros e em particular as propriedades dos
números primos;
Teoria analítica dos números: utiliza a
análise real e
análise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos números primos;
Teoria algébrica dos números: utiliza
álgebra abstrata e estuda os
números algébricos;Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos;
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La teoría de números es la rama de
matemáticas puras que estudia las propiedades de los
números en general y de los
enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch: El término "
aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética, aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la
aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.
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