Schema (algebraische Geometrie)

Die klassische algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Teilmengen des affinen oder projektiven Raumes, die als Nullstellenmengen von endlich vielen Polynomen entstehen. Die geometrischen Objekte sind also Lösungsmengen von algebraischen Gleichungssystemen. Der Begriff Schema motiviert sich daraus, nicht nur Lösungen in einem festen algebraisch abgeschlossenen Körper zu betrachten, sondern Lösungen in beliebigen Ringen, und zwar gewissermaßen gleichzeitig. Als Beispiel betrachten wir die Gleichung x2 − 2 = 0. Sie hat über Q oder Z keine Lösungen, in R oder C dagegen jeweils 2; dabei sind die Lösungen in C natürlich die Bilder der Lösungen in R. Diese Daten ergeben zusammen einen Funktor (Ringe) → (Mengen), der einem Ring R die MengeF(R) = {r ∈ R | r2 = 2} der Lösungen oder Punkte zuordnet. Dieser Funktor ist darstellbar, d.h. es gibt einen Ring S, so dassF(R) = Hom(S,R) gilt (Hom bezeichnet dabei die Menge der Ringhomomorphismen; in unserem Beispiel ist S = Z[T]/(T2−2)). Es stellt sich heraus, dass die Punktfunktoren zu klassischen  algebraischen Varietäten genau dann darstellbar (über der Kategorie der Ringe bzw. k-Algebren) sind, wenn die Varietäten affin sind. Wenn nun der Begriff Schema eine möglichst weitreichende Verallgemeinerung des Begriffs Varietät sein soll, so ist ein affines Schema nichts anderes als ein Ring (zumindest aus kategorieller Sicht), und der allgemeine Begriff „Schema“ sollte so gefasst sein, dass alle Varietäten darstellbar in der Kategorie der Schemata sind.
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