Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin untersucht die algebraische Struktur der Gruppen. Anschaulich gesprochen besteht eine (konkrete) Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts zusammen mit der Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen von Symmetrien gegeben ist. Zum Beispiel bilden die Rotationen eines regelmäßigen -Ecks in der Ebene eine Gruppe mit Elementen. Um dieses Konzept in voller Allgemeinheit zu fassen, hat sich eine sehr effiziente axiomatische Definition herausgebildet: demnach ist eine (abstrakte) Gruppe eine Menge zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung, die ein neutrales Element besitzt sowie zu jedem Element ein Inverses. Zum Beispiel bilden die ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe. Sowohl die abstrakte als auch die konkrete Sichtweise sind sehr nützlich, denn sie beschreiben dieselben Objekte und ergänzen sich gegenseitig.