Adele ring

In number theory, the adele ring is a topological ring containing the field of rational numbers (or, more generally, to an algebraic number field). It involves all the completions of the field.The word "adele" is short for "additive idele". Adeles were called valuation vectors or repartitions before about 1950.
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En mathématiques et dans la théorie des nombres, l'anneau adèle est un anneau topologique contenant le corps des nombres rationnels (ou, plus généralement, un corps de nombres algébriques). Cela implique toutes les complétions du corps.
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Der Adelring wird in der Mathematik im Zusammenhang der Klassenkörpertheorie definiert und ermöglicht eine besonders elegante Darstellung des Artinschen Reziprozitätsgesetzes. Ist ein globaler Körper, also entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper über einem endlichen Körper, so besteht der Adelring aus allen Elementen , bei denen fast alle Komponenten ganz sind (eine nicht-negative Bewertung haben). Dabei sind die Menge der  Bewertungen von und die Komplettierungen von bezüglich der Bewertungen . Mit der von der Produkttopologie erzeugten Topologie wird der Adelring zu einem topologischen Ring (d.h. die Verknüpfungen sind stetige Abbildungen). Die  Gruppe der Einheiten ist die Idelgruppe.
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