代數數論

在數學中，代數數論是數論的一支，其中我們將「數」的概念延伸，以解決具體的數論問題。我們在代數數論中考慮代數數，這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。在此框架下能推廣整數為代數整數，並研究一個數域裡的代數整數。代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質——包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類域論、表示理論與L-函數的相關理論等等。數論中的許多問題可藉由「模 p」（其中 p 為素數）來研究。這套技術導向p進數的建構，而p進數是局部域的例子；局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法，但是通常更容易處理。一般數域上的陳述常與各個局部域上的相應陳述有關，例如哈瑟原理：「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若且唯若它在實數上及在每個素數 p 之 p進數域上有解」。這類結果往往被稱作局部-整體原理，其中「局部」意指局部域，而「整體」意指數域。
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