一階述語論理

一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic）あるいは述語論理 (predicate logic) は、数理論理学の形式体系のひとつであり、命題論理を拡張したものである。述語 (predicate) が変項化されないものを一階述語論理と呼び、述語を変項化したものを二階述語論理（さらに一般化して高階述語論理）と呼ぶ。本項では主に一階述語論理までについて解説する。一階述語論理の原子論理式は P(t1, ..., tn) という形式であり、これは一つ以上の主語 (subject) を持つ述語とみなすことができる。一方、命題論理では原子論理式は単に命題としてひとつの記号で表されていた。以下に書かれるように、P(t1, ..., tn) の括弧やカンマは省いて表記されることが多い。命題論理にない一階述語論理の特徴は量化 (quantification) である。φ を任意の論理式としたとき、∀xφ と  ∃xφ が新たに導入される。前者は「すべての x について φ である」という意味であり、後者は「ある x が存在し、φ である」という意味である。意図を明確にするために φ を φ(x) と書き、φ(x) 中の x の自由な出現すべてを a で置換した結果を φ(a) で示すものとする。すると ∀xφ(x) は φ(a) が任意の a について真であることを意味し、∃xφ(x) は φ(a) が真となるような a が少なくともひとつ存在することを意味する。変項の値は既知の対象領域から選ばれる。一階述語論理を改良することによって、対象領域を種 (sort) ごとに分割し、それぞれの領域上を動く種別の変項を導入することもできる（詳しくは多種論理を参照せよ）。
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